橢圓曲線密碼體制與智能卡研究

文章出處：http://www.nyfzw.net 作者：郭艾俠   人氣： 發表時間：2011年09月18日

引言 

人們根據密鑰的特點，將密碼系統分為私鑰和公鑰兩大密碼系統。在私鑰密碼系統中，解密密鑰和加密密鑰相同或者很容易從加密密鑰導出，這一特點致使加密系統變得不安全。1976年Diffie和Hellman發表了著名的“密碼學的新方向”一文［1］，提出公開密鑰密碼的思想，從此開始公鑰密碼的發展。在公鑰密碼體制中，解密密鑰和加密密鑰不同，從一個難于推出另一個，加密和解密是可分離的，通信雙方事先無須交換密鑰就可建立起保密通信。1978年由Rivest、Shamir和Adleman提出的RSA［2］方案及1984年提出的ELGamal［3］方案均屬于公鑰密碼體制。RSA的安全性依賴于大整數分解因子問題的困難性，ELGamal的安全性則是建立在有限域上離散對數問題困難性基礎上的。 

隨著計算機網絡的迅速發展，相互之間進行通信的用戶數量的增多，RSA與ELGamal公鑰密碼體制的公鑰位數較大（一般為512比特以上）的弱點逐漸暴露出來。1985年Koblitz［4］和Miller［5］分別獨立地提出利用橢圓曲線上離散對數代替有限域上離散對數，可以構作公鑰位數較小的ELGamal類公鑰密碼。 

1  橢圓曲線 

定義1：設K=GF(q)（其中q=pd）為一有限域，K上橢圓曲線方程E為： 

y2=x3+ax+b       (p≥5，a,b∈K，4a3+27b2≠0) 

y2+xy=x3+ax+b    (p=2,a,b∈K) 

滿足橢圓曲線方程E的所有點及一個稱為無窮遠點O［6］的點所構成的集合 

E(K)={(x,y)|(x,y)∈E,且x,y∈K}∪O 

為該曲線的K-有理點集合，它是一個有限集，元素個數稱為該橢圓曲線E的階，記#E(K).我們在該有限集上定義一個加法運算［6］,使得這些點對于該加法運算形成一個Abel群，群的單位元為無窮遠點O. 

定理1(Hasse不等式)：設K=GF(q), E/K為有限域上的橢圓曲線，有不等式 

|#E(K)-pd-1|≤2(pd)1/2成立。 

定義5：設E/K為橢圓曲線，點P為其上的點，最小的滿足條件rP=O，正整數r稱為點P的階。根據有限域的知識，我們知道這樣的r總是存在且整除橢圓曲線階#E(K).整數k,l，滿足條件kP=lP，當且僅當k=lmod(r). 

2  橢圓曲線上的密碼體制 

橢圓曲線上離散對數問題ECDLP定義如下：給定素數p和橢圓曲線E，對Q＝kP，在已知P，Q 的情況下求出小于p的正整數k.可以證明由k和P計算Q比較容易，而由Q和P計算k則比較困難。ECDLP是比整數因子分解問題IFP和離散對數問題DLP難得多的數學難題。基于該難題，Neal Koblitz和Victor Miller［4］［5］在1985年分別提出了橢圓曲線密碼系統（ECC）.ECC既可以用于數據加密，也可以用于數字簽名。 

將橢圓曲線中的加法運算與離散對數中的模乘運算相對應，將橢圓曲線中的乘法運算與離散對數中的模冪運算相對應，我們就可以建立基于橢圓曲線的對應的密碼體制。 

例如，對應Diffie-Hellman公鑰系統，我們可以通過如下方式在橢圓曲線上予以實現：在E上選取生成元P，要求由P產生的群元素足夠多，通信雙方A和B分別選取a和b,a和b 予以保密，但將aP和bP公開，A和B間通信用的密鑰為abP,這是第三者無法得知的。 

對應ELGamal密碼系統可以采用如下的方式在橢圓曲線上予以實現： 

將明文m嵌入到E上Pm點，選一點B∈E，每一用戶都選一整數a,0＜a＜N，N為階數已知，a 保密，aB公開。欲向A送m,可送去下面一對數偶：［kB,Pm+k(aAB)］,k是隨機產生的整數。A可以從kB求得k(aAB).通過：Pm+k(aAB)- k(aAB)=Pm恢復Pm.同樣對應DSA我們可以在橢圓曲線上構造ECDSA. 

3  橢圓曲線密碼與智能卡 

智能卡通常用在安全性要求比較高的場合，并與密碼學的應用相結合。這首先是由于智能卡能夠保護并安全的處理敏感數據；而智能卡能保護密鑰也是相當重要的，因為“一切秘密寓于密鑰之中”，為了能達到密碼所提供的安全服務，密鑰絕對不能被泄密，但為安全原因所增加的成本卻不能太多。 

智能卡自身硬件的資源極為有限。用其實現安全系統面臨著存儲器容量和計算能力方面受到的限制。目前市場上的大多數智能卡有128到1024字節的RAM，1 k到16 k字節的EEPROM，6 k到16 k字節的ROM，CPU通常為8比特的，典型的時鐘頻率為3.57 MHz.任何存儲或者是處理能力的增強都意味著智能卡成本的大幅度提高。 

另外智能卡的數據傳送是相對慢的，為提高應用的效率，基本的數據單元必須要小，這樣可以減少智能卡與卡終端之間的數據流量，其傳送時間的減少則意味著實用性的增強。 

將橢圓曲線密碼體制應用于智能卡的優點是：生成私鑰公鑰方便；節省內存空間；節省帶寬，提高實用性；節省處理時間，而不需要增加硬件的處理等方面。ECC密鑰短所帶來的各優點恰好彌補了智能卡硬件的各種局限，不僅能有效地降低智能卡的生產成本，也能提高智能卡的實用性。 

4  參數的選取 

橢圓曲線上的公鑰密碼體制的安全性是建立在橢圓曲線離散對數的基礎上，但并不是所有橢圓曲線都可以應用到公鑰密碼體制中，為了保證其安全性，我們必須選取安全橢圓曲線，即階為大素數或含大素數因子的橢圓曲線為安全橢圓曲線。一般來說有四種尋找安全橢圓曲線的方法： 

1）有限域GF(q)上隨機生成一橢圓曲線，直接計算其階，判斷階是否為大素數或含大素數因子，若是即確定，否則繼續選取曲線，直至符合條件。 

2）取具有一定特殊性橢圓曲線的系數，計算該橢圓曲線的階，對該階進行判斷，直至找到所需要的安全曲線。 

3）如果q=2m，其中m能被一個比較小的整數d整除，我們首先在有限域GF(q1)(q1=2d)上選擇一橢圓曲線E‘并計算其階，根據此值，利用Weil定理［6］計算該曲線在其擴域GF(q)上的階，若此階符合安全標準，我們再找曲線E‘在域GF(q)上的嵌入E，則E即為所需的安全橢圓曲線。 

4）首先給出具有安全條件的曲線階，然后構造一具有此階的橢圓曲線。 

目前國內外比較流行的計算橢圓曲線階的算法有complex multiplication算法、SEA算法、Satoh算法［7］,［8］均屬于上述幾種方法之一種。應用廣泛的橢圓曲線公鑰密碼體制中大多是基于特征2的有限域上，因此尋找特征2的有限域上的安全橢圓曲線必須先予以解決，Satoh算法正是為此提出的。 

5  有關Satoh算法的實現問題 

作者使用Mathematica語言實現了特征2時Satoh算法。在算法實現的驗證部分用到了上述方法，為了在有限域F2160上尋求安全橢圓曲線，首先在有限基域F216上隨機生成一條橢圓曲線E，利用Satoh算法計算其Frobenius同態跡C，根據橢圓曲線階的計算方法可知該曲線的階為216+1-C.設方程x2-Cx+216=0的兩個根為α，β，根據Weil共軛［6］可知該條橢圓曲線在擴域上的階為：(216)10+1-(α10+β10)，如果這個階為大素數或含大素數因子，我們將E嵌入到F2160上就找到了一條符合密碼體制要求的安全曲線。 

Satoh算法的C語言實現所涉及的運算領域有：有限域Fq，2-adic環Zq和2-adic整數環Z2，各個領域的元素之間的運算是大整數的基本運算，這里q=2160.2-adic整數環Z2中元素α的形式如同α=a1+a22+a322+a423+...an2n-1+...冪級形式，ai的值或為0或為1.由于算法只需要精度precision為83=［160+62］，2-adic整數環Z2中元素級數不能超出83.2-adic整數環中元素的數據結構定義為： 

Typedef unsigned long BIGword； 

Typedef  struct{ 

int  length 

BIGword  value［3］ 

}Z2word； 

兩個元素的相加減運算為模283意義下的大整數的加減運算，相乘為模283意義下的乘法運算。求元素a的逆元運算采用牛頓迭代算法，迭代的初始值為1（該元素為奇數，否則無逆元），迭代公式為x←x-x(ax-1)，迭代一次精度翻倍，達到所需83的精度要迭代7次。 

有限域Fq上的元素α=a1+a2t+a3t2+a4t3+...a160t159，其形式為一次數不高于159次的多項式，多項式的系數或為0或為1，兩個多項式相加為對應次數的系數模2加，減法與加法是一個運算。相乘為模一多項式f(t)=t160+t5+t3+t2+1意義下的乘法，在實際的運算過程中采用邊乘邊模的方法，也即次數出現160，就用低次多項式t5+t3+t2+1代替。求逆運算采用擴展歐幾里德算法。Fq元素的數據結構定義如下： 

typedef  struct { 

int  length 

BIGword  coef［5］ 

}Fqword 

環Zq為2-adic整環Z2上的多項式Z2［t］，模去多項式f(t)生成的理想［f(t)］所形成的商環，即Zq：=Z2［t］/［f(t)］，f(t)同上。從環Zq的構造可知，Zq中元素的形式為一次數不高于159的多項式，系數為2-adic整環Z2上的元素，這樣，我們可以定義Zq的元素數據結構。 

typedef  struct { 

int  length 

Z2word  coef［159］ 

}Zqword 

元素的加、減法運算同一般多項式運算類似，只是對應次數的系數進行加、減運算是2-adic環Z2上元素的加、減。乘法運算的處理方式如同有限域中元素乘法的運算處理。求元素a的逆運算采用牛頓迭代方法。迭代初始值求法為：首先將元素a系數模2，得到有限域上的一元素a‘，利用有限域上元素求逆方法計算出a‘的逆，a‘的逆即為迭代初始值。迭代多項式與2-adic整數環中元素的求逆迭代多項式相同。 

在上述基本運算得到解決后，我們著手于橢圓曲線階的計算。隨機選取橢圓曲線y2+xy=x3+α（α為有限域中元素），利用Satoh算法可求出該曲線的階。每給出一個α值（實際上給出了一條曲線E），就會算出該曲線的階。 

a的選取 
 對應曲線的點的個數 
  
0x40582590ac00873494fc02b180ba640130acb252 
 0x1000000000000000000014c3ec7372a968d0b1138 
  
0xd80c00e8008e2021384a0243012d600554e10200 
 0xfffffffffffffffffffed059c32e5457a83e0314 
  
0x8992b8ca2b70624440f6003100411646002d102c 
 0xffffffffffffffffffff203b8ad8bf63e2891eac 
  


作者在攻讀碩士學位期間實現了素域上安全橢圓曲線構造的SEA算法，在后期學習和工作中，分別用Mathematica和C兩種語言實現Satoh算法。這兩個算法的實現解決了有限域上安全曲線的構造問題，對今后的研究——橢圓曲線密碼體制在移動通信領域中的應用做了充分的準備工作。 

6  結束語 

1.分析了將安全橢圓曲線引進公鑰密碼體制的優點是，與目前應用較普遍的ＲＳＡ算法相比，在同等安全的情況下，其所需的密鑰長度遠比ＲＳＡ低，因而ＥＣＣ的特性更適合當今電子商務需要快速反應的發展潮流，在快速加密、密鑰交換、身份認證、數字簽名、移動通信、智能卡的安全保密等領域，具有廣闊的市場前景。 

2.橢圓曲線公鑰密碼體制實現的關鍵是安全曲線的構造問題，對此本文給出了實現Satoh算法驗證部分的技巧：首先計算小基域上一橢圓曲線階，通過Weil定理可知該曲線在其有限擴域上的階，若該階符合橢圓曲線公鑰密碼體制的要求，則將曲線嵌入到其擴域上即可求得一條安全曲線。 

參考文獻： 

［1］ W Diffie,M E Hellman.NEW Directions in Cryptography［J］.IEEE Trans Informat Theory,1976,IT-22:644-654. 

［2］ Rivest R L,Shamir A,Adleman L.A Method for obtaining Digital Signatures and Public-key Cryptosystem［J］.Comm ACM，1978,21(2):120-126. 

［3］ L ElGamal.A Public Key Cryptosystem and Signature Scheme Base on Discrete Logarithm［J］.IEEE Transactions of  information Theory,1985,31:469-472. 

［4］ V Miller.Use of Elliptic Curves in Cryptography［A］.A M Odlyzko.Advances in Cryptology-Proceedings of CRYPTO 1986,volume 263 of Lecture Notes in Computer Science［C］.New york:Springer,1986.417-426. 

［5］ N Koblitz.Elliptic Curve Cryptosystems［J］.Mathematics of Compution,1987,48:203-309. 

［6］ Joseph H Silberman.The Arithmetic of Elliptic Curves［M］.New York:Springer-Verlag,1986.46-61,130-136. 

［7］ T Satoh.The canonical lift of an ordinary elliptic curve over a finite field and its point counting［J］.Ramanujan Mathematical Society,2000,15:247-270. 

［8］ M Fouquet,P Gaudry,R Harley.An extention Satoh‘ algorithm and its implementation［J］.Ramanujan Mathematical Society,2000,15:281-318. 

本文作者：華南農業大學理學院計算機系 郭艾俠